อัตราส่วนทองคำเป็นสัดส่วนที่ถือว่าสมบูรณ์แบบและกลมกลืนกันมากที่สุดตั้งแต่สมัยโบราณ เป็นพื้นฐานของโครงสร้างโบราณมากมาย ตั้งแต่รูปปั้นไปจนถึงวัด และพบได้ทั่วไปในธรรมชาติ ในเวลาเดียวกัน สัดส่วนนี้แสดงออกมาในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่สง่างามอย่างน่าประหลาดใจ
คำแนะนำ
ขั้นตอนที่ 1
สัดส่วนสีทองถูกกำหนดดังนี้: เป็นการแบ่งส่วนของส่วนออกเป็นสองส่วนซึ่งส่วนที่เล็กกว่าหมายถึงส่วนที่ใหญ่กว่าในลักษณะเดียวกับส่วนที่ใหญ่กว่าหมายถึงส่วนทั้งหมด
ขั้นตอนที่ 2
หากความยาวของทั้งเซกเมนต์เป็น 1 และความยาวของส่วนที่มากกว่าถือเป็น x สัดส่วนที่ต้องการจะแสดงโดยสมการ:
(1 - x) / x = x / 1
คูณทั้งสองข้างของสัดส่วนด้วย x และถ่ายโอนเทอม เราจะได้สมการกำลังสอง:
x ^ 2 + x - 1 = 0
ขั้นตอนที่ 3
สมการมีรากจริงสองราก ซึ่งโดยธรรมชาติแล้วเราสนใจเฉพาะผลบวกเท่านั้น มีค่าเท่ากับ (√5 - 1) / 2 ซึ่งมีค่าประมาณ 0, 618 ตัวเลขนี้แสดงถึงอัตราส่วนทองคำ ในวิชาคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่จะเขียนแทนด้วยตัวอักษร φ
ขั้นตอนที่ 4
หมายเลข φ มีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่โดดเด่นหลายประการ ตัวอย่างเช่น จากสมการเดิมจะเห็นได้ว่า 1 / φ = φ + 1 อันที่จริง 1 / (0, 618) = 1, 618
ขั้นตอนที่ 5
อีกวิธีในการคำนวณอัตราส่วนทองคำคือการใช้เศษส่วนอนันต์ เริ่มจาก x โดยพลการ คุณสามารถสร้างเศษส่วนตามลำดับได้:
NS
1 / (x + 1)
1 / (1 / (x + 1) + 1)
1 / (1 / (1 / (x + 1) + 1) +1)
เป็นต้น
ขั้นตอนที่ 6
เพื่อความสะดวกในการคำนวณ เศษส่วนนี้สามารถแสดงเป็นกระบวนการวนซ้ำ ซึ่งในการคำนวณขั้นตอนต่อไป คุณต้องบวกหนึ่งผลลัพธ์ของขั้นตอนก่อนหน้า และหารหนึ่งด้วยจำนวนผลลัพธ์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง:
x0 = x
x (n + 1) = 1 / (xn + 1)
กระบวนการนี้มาบรรจบกัน และขีดจำกัดคือ φ + 1
ขั้นตอนที่ 7
หากเราแทนที่การคำนวณส่วนกลับด้วยการแยกรากที่สอง นั่นคือ เราดำเนินการวนซ้ำ:
x0 = x
x (n + 1) = √ (xn + 1), จากนั้นผลลัพธ์จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง: โดยไม่คำนึงถึงการเลือก x ในตอนแรก การวนซ้ำจะมาบรรจบกันเป็นค่า φ + 1
ขั้นตอนที่ 8
ในเชิงเรขาคณิต อัตราส่วนทองคำสามารถสร้างได้โดยใช้รูปห้าเหลี่ยมปกติ หากเราวาดเส้นทแยงมุมที่ตัดกันสองเส้นแล้วแต่ละเส้นจะแบ่งส่วนอื่น ๆ ในอัตราส่วนทองคำอย่างเคร่งครัด การสังเกตตามตำนานนี้เป็นของพีทาโกรัสซึ่งตกตะลึงกับรูปแบบที่พบมากจนเขาถือว่าดาวห้าแฉกที่ถูกต้อง (แฉก) เป็นสัญลักษณ์ศักดิ์สิทธิ์อันศักดิ์สิทธิ์
ขั้นตอนที่ 9
สาเหตุที่ทำให้อัตราส่วนทองคำที่ดูเหมือนกับบุคคลที่กลมกลืนกันมากที่สุดนั้นไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด อย่างไรก็ตาม การทดลองได้ยืนยันซ้ำแล้วซ้ำเล่าว่าผู้ทดลองที่ได้รับคำสั่งให้แบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากันอย่างสวยงามที่สุดในสัดส่วนที่ใกล้เคียงกับอัตราส่วนทองคำ